応用数学 (瀬部　　昇)

  科目名: 応用数学 (01)　Applied Mathematics

  担当教員: 瀬部　　昇 (大学院情報工学研究院知能情報工学研究系)　sebe@ai.kyutech.ac.jp

            自然科学科目 必修科目 2単位

            2年 前期 金曜2限目  2101講義室

授業の概要

前半では数学的教養としての複素関数論の基礎を講義し、後半では工学的に重要なフーリエ解析の基礎を講義する。

複素関数論については、微分可能性の実数関数と複素関数との決定的な違いや、それに起因する数々の有用な性質(コーシーの積分定理、積分表示、留数定理など)、さらに工学的に重要な実定積分への応用について講義する。また、フーリエ解析については、周波数解析の意味、三角関数の直交性などの基礎事項について講義する。

カリキュラムにおけるこの授業の位置付け

「線形代数 I」、「線形代数 II」、「解析 I」、「解析 II」の履修を前提とした講義を行う。

この科目は、１年で教えられる「解析 I」、「解析 II」の続きとして、複素関数論を教える科目である。また、工学的に重要なフーリエ解析を教育し、上級学年で教えられる工学系諸科目、特に周波数を扱う「音声工学」などの数学的基礎を与える科目である。

授業項目 (授業計画)

(1)　複素数と複素関数

(2)　複素関数の正則性

(3)　べき級数と収束半径

(4)　複素数の初等関数

(5)　コーシーの積分定理

(6)　特異点と留数定理

(7)　コーシーの積分表示定理

(8)　正則関数のテイラー級数展開

(9)　ローラン級数展開

(10)　フーリエ級数展開

(11)　フーリエ級数展開の収束とギブス現象

(12)　フーリエ変換とその応用

(13)　ラプラス変換

(14)　ラプラス変換の応用

(15)　期末試験

授業の進め方

上記の講義以外に，必要に応じて演習または小テストを実施する。

授業の達成目標 (学習・教育目標との関連)

このカリキュラムは、電子情報工学科の学習・教育目標 (B) に掲げられている「自然科学に対する理解を深め、情報科学、数学、物理学等の基礎学力を育成する」ために、解析学の基礎を理解することを目標とする. 特に講義の前半では複素解析の基礎を、講義の後半では、工学的に非常に重要なフーリエ解析の基礎を理解することを目標とする。具体的には以下の5項目を目標とする.

(1)　複素数の概念や四則演算などの基礎事項を理解する.

(2)　複素関数の基礎となる, べき級数とその収束半径について理解する.

(3)　複素関数の微分可能性について理解する.

(4)　コーシーの積分定理, 留数定理などを理解し, 実定積分への応用ができるようにする.

(5)　フーリエ解析の基礎概念を理解する.

成績評価の基準および評価方法

上記に掲げた達成目標の一部または全部について、小テストまたは演習(20％)、および期末試験の成績(80％)で評価する。また、必要に応じて再試験を実施する。

キーワード

複素数, 複素関数, 正則性, コーシーの積分定理, 留数, コーシーの積分表示, ローラン展開, フーリエ解析, ギブス現象, ラプラス変換

教科書

参考書

• 洲之内、猪股: 改訂関数論 (サイエンス社)
• 小野寺嘉孝: なっとくする複素関数論 (講談社)
• 志賀浩二: 複素数 30 講 (朝倉書店)
• 小暮陽三: なっとくするフーリエ変換 (講談社)
• 井町, 内田: フーリエ解析 (裳華房)
• 洲之内源一郎: フーリエ解析とその応用 (サイエンス社)
• フーリエの冒険(ヒッポファミリークラブ)

備考